这是高等电磁场理论笔记的第一篇文章
开这个坑的主要目的在于整理笔记（才不是因为字丑），顺带熟悉一下Markdown和Latex的写作，以及往博客里塞点东西
开源是好文明，开源知识也是开源（如果拙作姑且也有被阅览的价值），所以开源笔记是好文明
进大学以来经常看知乎上数理相关专栏，被影响得也想扔点东西上去
网上电磁场相关的资料太少了，自己学的时候遇到问题也很难找到相关资料，看看能不能补一点
大抵如此吧，随便写点，不知道多久能整理完，键入的码率还是比手写的码率低得多啊（误）
那就先从麻烦的数学开始吧
矢量算子
散度
散度定义式 \[\nabla \cdot \vec{f} = \lim_{\Delta v \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta v} [\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_s \vec{f} \cdot d \vec{s}]\] \(s\)为包围体积\(\Delta v\)的闭合曲面
不同坐标系下的散度 \[\begin{cases} \nabla \cdot \vec{f} = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z} \\[8pt] \nabla \cdot \vec{f} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial (\rho f_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial f_z}{\partial z} \\[8pt] \nabla \cdot \vec{f} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 f_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial (f_\theta \sin\theta)}{\partial\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f_\phi}{\partial\phi} \end{cases}\]
旋度
旋度定义式 \[\nabla \times \vec{f} = \lim_{\Delta s \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta v}[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_s d\vec{s}\times\vec{f}]\] \(s\)为包围体积\(\nabla v\)的闭合曲面
从定义式可以看出，若将\(s\)划分为若干非闭合小曲面，在每个曲面上计算\(d\vec{s}\times\vec{f}\)再将其求和；由于叉乘计算的是\(\vec{f}\)与\(d\vec{s}\)正交的分量，即沿\(s\)面的切向分量，故求和后的结果在直观上体现的是一条围绕\(s\)边界的闭合曲线（为什么闭合？这是因为划分小区面的方式不影响积分的结果，因此曲线的起点终点只与\(s\)本身有关，故为闭合），由此可对Stokes定理有直观的理解
不同坐标系下的旋度 \[\nabla\times\vec{f} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\[8pt] \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\[8pt] f_x & f_y & f_z \end{vmatrix} \qquad \nabla\times\vec{f} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \hat{\rho} & \rho\hat{\phi} & \hat{z} \\[8pt] \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\[8pt] f_\rho & \rho f_\phi & f_z \end{vmatrix} \qquad \nabla\times\vec{f} = \frac{1}{r^2 \sin\theta}\begin{vmatrix} \hat{r} & r\hat{\theta} & r\sin\theta\hat{\phi} \\[8pt] \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\[8pt] f_r & r f_\theta & r\sin\theta f_\phi \end{vmatrix} \] 旋度在给定方向\(\hat{a}\)上的分量为 \[\hat{a}\cdot(\nabla\times\vec{f}) = \lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta s}[\oint_c\vec{f}\cdot d\vec{l}]\] \(\Delta s\)为垂直于\(\hat{a}\)的面积，\(c\)为\(\Delta s\)边界闭曲线，\(d\vec{l}\)与\(c\)相切，方向与\(\hat{a}\)满足右手定则
梯度
梯度定义式 \[\nabla f = \lim_{\Delta v\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta v}[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_s f\vec{s}]\] 不同坐标系下的梯度 \[\begin{cases} \nabla f = \hat{x}\frac{\partial f}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial f}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial f}{\partial z} \\[8pt] \nabla f = \hat{\rho}\frac{\partial f}{\partial\rho} + \hat{\phi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial\phi} + \hat{z}\frac{\partial f}{\partial z} \\[8pt] \nabla f = \hat{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta} + \hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\phi} \end{cases}\] 梯度在给定方向\(\hat{a}\)上的分量 \[\hat{a}\cdot\nabla f = \frac{f}{a}\]
Laplace 算子
Laplace算子定义式 \[\Delta f = \nabla^2f = \nabla\cdot(\nabla f)\] 不同坐标系下的表示 \[\begin{cases} \Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} \\[8pt] \Delta f = \frac{1}{\rho}(\rho\frac{\partial f}{\partial\rho}) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} \\[8pt] \Delta f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2} \end{cases}\] Laplace算子作用于矢量值函数上时，其结果亦为一矢量，并作用到各分量上，如笛卡尔坐标系 \[\Delta\vec{A} = (\Delta A_x, \Delta A_y, \Delta A_z)\] 用Laplace算子处理矢量时即为矢量恒等式，此亦为其定义式 \[\Delta\vec{A} = \nabla(\nabla\cdot\vec{A}) - \nabla\times(\nabla\times\vec{A})\]
符号矢量法
一个看似显然的技巧
符号矢量法的核心，即将\(\nabla\)算符视为一个矢量\(\tilde{\nabla}\)，这样即可让\(\tilde{\nabla}\)参与矢量运算中交换，合并，内积，外积，数乘等等价变换中；符号矢量用\(\tilde{\nabla}\)表示，其定义为 \[T(\tilde{\nabla}) = \lim_{\Delta v \rightarrow 0}[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_s T(\hat{n})ds]\] 式中，\(s\)为包围\(\Delta v\)的闭合曲面，\(\hat{n}\)为\(s\)的单位外法向矢量，故\(d\vec{s}\)可表示为\(d\vec{s} = \hat{n}ds\)；\(T(\tilde{\nabla})\)为包含符号矢量\(\tilde{\nabla}\)的一个表达式，如\(a\tilde{\nabla}\)，\(\vec{a}\cdot\tilde{\nabla}\)，\(\vec{a}\times\tilde{\nabla}\)和\(\tilde{\nabla}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})\)，\(T(\hat{n})\)表示为用\(\hat{n}\)替换\(\tilde{\nabla}\)后的形式相同的表达式，对应于如上所示的\(a\hat{n}\)，\(\vec{a}\cdot\hat{n}\)，\(\vec{a}\times\hat{n}\)和\(\hat{n}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})\)
由定义易知 \[\tilde{\nabla}\cdot\vec{f} = \lim_{\Delta v \rightarrow 0}[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_s \hat{n}\cdot\vec{f}ds]= \lim_{\Delta v \rightarrow 0}[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_s \vec{f}\cdot\hat{n}ds] = \vec{f}\cdot\tilde{\nabla}\] 同理可证\(\tilde{\nabla}f = f\tilde{\nabla}\)，\(\tilde{\nabla}\times\vec{f} = -\vec{f}\times\tilde{\nabla}\)，故可将\(\tilde{\nabla}\)视为一个普通的矢量对待。符号矢量法是一个看似显然，但有着坚实基础的矢量分析技巧，下面将演示用符号矢量法推导矢量恒等式：由于\(\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}\)，故 \[\tilde{\nabla}\times(\tilde{\nabla}\times\vec{f}) = (\tilde{\nabla} \cdot \vec{f})\tilde{\nabla} - (\tilde{\nabla}\cdot\tilde{\nabla})\vec{f} = \tilde{\nabla}(\tilde{\nabla} \cdot \vec{f}) - \tilde{\nabla}\cdot(\tilde{\nabla}\cdot\vec{f}) = \tilde{\nabla}(\tilde{\nabla} \cdot \vec{f}) - \tilde{\nabla}^2\vec{f}\]
链式法则
什么是算子（Operator）？算子是一种映射，将一个向量空间里的元素映射到另一个向量空间（也可以是同一个），也可以直观理解为对函数进行运算的一个算符。微分算符\(\frac{d}{dt}\)满足其链式法则，\(\nabla\)算子也满足相应的链式法则，其定义如下 \[T(\tilde{\nabla}, a, b) = T(\tilde{\nabla}_a, a, b) + T(\tilde{\nabla}_b, a, b)\] \(a\)，\(b\)为两函数（标量或矢量均可），\(\tilde{\nabla}_a\)，\(\tilde{\nabla_b}\)表示为作用于\(a\)，\(b\)的符号矢量。该链式法则来源于微分算子的链式法则： \[\frac{\partial(ab)}{\partial x} = a\frac{\partial b}{\partial x} + b\frac{\partial a}{\partial x}\] 链式法则对于简化矢量计算而言有着十分显著的作用，下面将展示用链式法则和符号矢量快速推导一个重要矢量恒等式的过程 \[\begin{aligned} \tilde{\nabla}\times(\vec{a}\times\vec{b}) & = \tilde{\nabla}_a\times(\vec{a}\times\vec{b}) + \tilde{\nabla}_b\times(\vec{a}\times\vec{b})\\ & = (\tilde{\nabla}_a\cdot\vec{b})\vec{a} - (\tilde{\nabla}_a\cdot\vec{a})\vec{b} + (\tilde{\nabla}_b\cdot\vec{b})\vec{a} - (\tilde{\nabla}_b\cdot\vec{a})\vec{b} \end{aligned}\] 由此即可得矢量恒等式\(\nabla\times(\vec{a}\times\vec{b}) = (\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a} - \vec{b}\nabla\cdot\vec{a} + \vec{a}\nabla\cdot\vec{b} - (\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}\)
亥姆霍兹定理
先给出Helmholtz定理的描述，随后证明当光滑矢量函数在无限远处为零式的Helmholtz定理，并将其推广至一般情况
Helmholtz定理指出 \[\begin{aligned} &对无旋矢量\vec{F_i}\quad \nabla\times\vec{F_i} = 0 & \nabla\cdot\vec{F_i}\neq 0 \\ &对无散矢量\vec{F_s}\quad \nabla\cdot\vec{F_s} = 0 & \nabla\times\vec{F_s}\neq 0 \end{aligned} \] 由此可得矢量恒等式 \[\begin{cases} \nabla\times(\nabla\phi) = 0 \\[8pt] \nabla\cdot(\nabla\times\vec{A}) = 0 \end{cases}\] 电势，磁场矢量位既是由此而来
对于一个在无穷远区无限小的光滑矢量函数，其可以分解为一个无旋矢量和一个无散矢量的叠加（对于一般矢量函数也有类似结论），即 \[\vec{F} = \vec{F_i} + \vec{F_s}\] 该结论等价于 \[\vec{F}(\vec{r}) = -\nabla\phi(\vec{r}) + \nabla\times\vec{A}(\vec{r})\] 式中 \[\phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi}\iiint_V\frac{\nabla'\cdot\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV' \\[8pt] \vec{A} = \frac{1}{4\pi}\iiint_V\frac{\nabla'\times\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV' \] 这个式子虽然复杂，但背后隐藏着一层深刻的含义，即一个矢量可由其散度与旋度完全确定，换言之，散度和旋度是可以用来描述任意矢量的完备的“自由度”；以往对矩阵的描述是用空间里的完备正交基来构造，但是Helmholtz定理从算子的角度出发，描述了另一组构造矢量的“完备正交基”
下面给出其证明 （这个证明是笔者的一道作业题，当时为了给出证明想了好久，印象非常深刻23333）
首先证明引理： \[\quad\nabla\cdot\nabla(\frac{1}{R}) = -4\pi\delta(\vec{R})\] \(R\)为位于\((x,y,z)\)的点\(P\)与位于\((x',y',z')\)的点\(P'\)之间的距离，式中\(\vec{R} = \vec{r} - \vec{r'}\)，\(\nabla'\)作用于带撇号的变量 易证\[\nabla(\frac{1}{R}) = -\frac{\vec{R}}{R^3}\] 令\(V\)为包含\(\vec{R}=0\)在内的球体，\(S\)为其表面，其半径为\(R\)，则由Gauss散度定理 \[\begin{aligned} \iiint_V\nabla\cdot(-\frac{\vec{R}}{R^3})dV &= \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S(-\frac{\vec{R}}{R^3})\cdot d\vec{S} = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S(-\frac{\vec{R}}{R^3})\cdot\hat{n}dS \\[8pt] &= -\frac{1}{R^2}\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S dS = -4\pi \end{aligned}\] 由此可得 \[\nabla\cdot\nabla(\frac{1}{R}) = -4\pi\delta(\vec{R})\] 下面证明Helmholtz定理（Gauss散度定理与广义高斯定理将于后续解释） \[\begin{aligned} \vec{F}(\vec{r}) &= \iiint_V\vec{F}(\vec{r'})\delta(\vec{r} - \vec{r'})dV' = -\frac{1}{4\pi}\iiint_V\nabla\cdot\nabla(\frac{\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|})dV' \\[8pt] &= \frac{1}{4\pi}\nabla\times[\nabla\times\iiint_V\frac{\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV'] -\frac{1}{4\pi}\nabla[\nabla\cdot\iiint_V\frac{\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV'] \\[8pt] *&=\frac{1}{4\pi}\iiint_V\nabla\times\frac{\nabla'\times\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV' - \frac{1}{4\pi}\iiint_V\nabla\frac{\nabla'\cdot\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV' \\[8pt] &= \nabla\times\vec{A}(\vec{r}) -\nabla\phi(\vec{r}) \end{aligned} \] 其中 \[\begin{aligned} &\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi}\iiint_V\frac{\nabla'\times\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV' \\[8pt] &\phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi}\iiint_V\frac{\nabla'\cdot\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV' \end{aligned}\] 现证明\(*\)步骤（此处应用链式法则）： \[\begin{aligned} &\iiint_V[\nabla\times\frac{\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}]dV' = \iiint_V[\frac{\nabla\times\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} - \vec{F}(\vec{r'})\times\nabla\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}]dV' \\[8pt] &\iiint_V[\nabla\cdot\frac{\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}]dV' = \iiint_V[\frac{\nabla\cdot\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} +\vec{F}(\vec{r'})\cdot\nabla\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}]dV' \end{aligned} \] 由广义Gauss定理，注意到\(\lim_{\vec{r'} \rightarrow 0}\vec{F}(\vec{r'})\rightarrow 0\)，则 \[\begin{aligned} &\iiint_V\nabla\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}\times\vec{F}(\vec{r'})dV' = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\frac{d\vec{S}}{|\vec{r} - \vec{r'}|}\times\vec{F}(\vec{r'}) = 0 \\[8pt] &\iiint_V\nabla\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}\cdot\vec{F}(\vec{r'})dV' = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\frac{d\vec{S}}{|\vec{r} - \vec{r'}|}\cdot\vec{F}(\vec{r'}) = 0 \end{aligned} \] 代入上式即可证明\(*\)步骤成立 实际上，该证明也可推广至一般性的Helmholtz定理： \[\begin{aligned} &\vec{F}(\vec{r}) = -\nabla\phi(\vec{r}) + \nabla\times\vec{A}(\vec{r}) \\[8pt] &\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi}\iiint_V\frac{\nabla'\times\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV'- \frac{1}{4\pi}\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\frac{d\vec{S'}\cdot\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \\[8pt] &\phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi}\iiint_V\frac{\nabla'\cdot\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|}dV' - \frac{1}{4\pi}\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\frac{d\vec{S'}\times\vec{F}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \end{aligned}\] 显然得证
积分定理
广义高斯定理
用符号矢量的形式给出广义Gauss定理的定义： \[\iiint_V T(\tilde{\nabla})dV = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S T(\hat{n})dS\] 从符号矢量的定义式\(T(\tilde{\nabla}) = \lim_{\Delta v \rightarrow 0}[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_s T(\hat{n})ds]\)出发，该定理有着十分直观的表述，其相关矢量符号与上述章节相同
下面从广义Gauss定理入手，推导\(\mathbb{R}^3\)中的Gauss散度定理与Stokes公式
令\(T(\tilde{\nabla}) = \nabla\cdot\vec{f}\)，则 \[\iiint_V T(\tilde{\nabla})dV = \iiint_V \nabla\cdot\vec{f}dV = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S \hat{n}\cdot\vec{f}dS = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S \vec{f}\cdot d\vec{S}\] 此为Gauss散度定理
令\(T(\tilde{\nabla}) = \nabla\times\vec{f}\)，则 \[\iiint_V T(\tilde{\nabla})dV = \iiint_V \nabla\times\vec{f}dV = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S \hat{n}\times\vec{f}dS = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S d\vec{S}\times\vec{f} \] 将其应用于面积为\(S\)厚度趋于\(0\)的体积上即可得到Stokes定理
从高斯散度定理到格林定理
Green定理是Gauss散度定理的一个重要推广，其揭示了一个重要的物理意义，即空间内（Green定理作用于\(\mathbb{R}^3\)）的矢量可由其边界上的值表征，这一点在广义Stokes定理与电磁场唯一性定理中都有鲜明的体现；当然，笔者学识有限，Green定理中更多的物理内涵还有待挖掘
第一标量Green定理：\(\vec{f} = a\nabla b\) \[\iiint_V(a\nabla^2 b + \nabla a\cdot\nabla b)dV = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S a\frac{\partial b}{\partial n}dS\] 第二标量Green定理：交换\(a\)，\(b\)位置，与上式相减 \[\iiint_V(a\nabla^2 b - b\nabla^2 a)dV = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S (a\frac{\partial b}{\partial n} - b\frac{\partial a}{\partial n})dS\] 第一矢量Green定理：$ = $ 由于$ () = ()() - ()$，则 \[\iiint_V[(\nabla\times\vec{a})\cdot(\nabla\times\vec{b}) - \vec{a}\cdot(\nabla\times\nabla\times\vec{b})]dV = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S(\vec{a}\times\nabla\times\vec{b})\cdot d\vec{S}\] 第二矢量Green定理：交换\(a\)，\(b\)位置，与上式相减 \[\iiint_V[\vec{b}\cdot(\nabla\times\nabla\times\vec{a}) - \vec{a}\cdot(\nabla\times\nabla\times\vec{b})]dV = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S(\vec{a}\times\nabla\times\vec{b}-\vec{b}\times\nabla\times\vec{a})\cdot d\vec{S}\]
广义斯托克斯定理
广义Stokes定理是一个十分强大的工具，微积分基本定理，Green公式（\(\mathbb{R}^2\)中），Stokes公式（\(\mathbb{R}^3\)中），Gauss散度定理都是其在特定情况下的推广，或者说后者是前者的简单结论。由于广义Stokes定理的证明与解释隶属微分几何的范畴，而笔者对其了解甚少，故在此只作简单说明（工科生是这样的）
流形上的Stokes公式为 \[\int_\Omega d\omega = \int_{\partial\Omega}\omega\] \(\Omega\)为一个光滑\(n\)维流形，\(\partial\Omega\)为\(\Omega\)的边界，\(\partial\omega\)为\(\omega\)的外微分
何为流形？流形是可以局部欧几里得空间化的一个拓扑空间，电磁场（电动力学）所研究的闵可夫斯基空间与经典欧几里得空间都是流形的实例，适用广义Stokes公式
从广义Stokes公式出发，推导上述结论或公式并不是一件困难的事情，反而更加容易理解。这个公式的物理含义是十分易于理解的，即通过考察边界即可获得边界包含内部空间的信息；广义Stokes公式同时实现了降维运算，可以看出，与边界相对应的正是外微分
从微积分基本定理开始： \[\int_a^b dF(x) = F(b) - F(a)\] 微积分基本定理是广义Stokes公式的一维形式，此时的\(\Omega\)为一维上的一条“线段”，\(\partial\Omega\)为\(\Omega\)的边界，即\(x = a, b\)，\(dF(x)\)在线段上积分，其结果由边界点确定
\(\mathbb{R}^2\)上的Green公式： \[\iint_S(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \oint_L(Pdx + Qdy)\] 实际上，令\(\vec{f} = \hat{x}P+\hat{y}Q\)，则\(\nabla\times\vec{f} = \hat{z}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\) Green公式可表述为 \[\iint_S（\nabla\times\vec{f}）\cdot d\vec{S} = \oint_L\vec{f}\cdot d\vec{l}\] 该式中，\(\nabla\times\vec{f}\)是对\(\vec{f}\)的微分，\(S\)是二维平面上的一个有限区域，\(L\)是该区域边界上的一条闭合曲线，故Green公式指出，二维区域内部空间的信息可由其边界上的环路积分表示，这是直观的，也可以由此看出Green公式实际上是Stokes旋度公式在二维平面上的投影
对Stokes公式（\(\mathbb{R}^3\)中），将Green公式中的\(\vec{f}\)扩充至三维\(\vec{f} = \hat{x}P + \hat{y}Q + \hat{z}R\)，即可得： \[\iint_S（\nabla\times\vec{f}）\cdot d\vec{S} = \oint_L\vec{f}\cdot d\vec{l}\] 与Green公式有着相同的形式
对Gauss散度定理 \[\iiint_V\nabla\cdot\vec{f}dV = \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{f}\cdot d\vec{S}\] 该式中，\(\nabla\cdot\vec{f}\)是对\(\vec{f}\)的微分，用边界上的信息描述内部的信息，这便是广义Stokes公式的意义
结束
矢量分析是处理电磁场问题的最基本最重要的工具，在此也花费大量笔墨描述
矢量分析看似公式繁多，但实则脉络清晰，无非是用极限语言对梯度，旋度，散度进行定义，同时Helmholtz定理确定了旋度与散度对矢量的“完备”描述作用，再从广义Stokes定理与广义Gauss定理出发，推导了不同场景下常见的矢量恒等式；在这个过程中，符号矢量法作为简化运算的工具被提出并应用，电磁场的基本数学方法大抵如此了（当然，特殊函数也是非常重要的一部分，将另开篇章讲述）
吐槽：第一篇文章就这样又长又费力，不知道要写多久才能把笔记整理完（sad）
pixiv ID： 93657465
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