这是为高等电磁场理论笔记的第二篇文章
本文将介绍麦克斯韦方程组(Maxwell's Equations)相关内容，这是经典电磁场理论的基础和顶峰，也是物理学历史上的一次范式革命：它是场的理论
本文不包含关于能量，功率及时谐场的描述，这些内容将在后续需要时引入
今天是2022年1月1日，新年快乐
总电荷和总电流表示的麦克斯韦方程组
积分形式
直接给出Maxwell's equations的四个分式
Faraday’s induction law \[\oint_c\vec{E}(\vec{r},t)\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\iint_S\vec{B}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S} \] Ampère’s law (Maxwell–Ampère law) \[\oint_c\vec{B}(\vec{r},t)\cdot d\vec{l}=\epsilon_0\mu_0\frac{d}{dt}\iint_S\vec{E}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S}+\mu_0\iint_S\vec{J}_{total}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S}\] 其中为\(\vec{J}_{total}\)总电流的电流密度（包括感应电流）
通过表面\(S\)的总电流和总电通量为 \[\vec{J}(t)=\iint_S\vec{J}_{total}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S} \\[8pt]
\phi_E(t)=\iint_S\vec{E}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S}\] 则上式可写为 \[\oint_c\vec{B}\cdot d\vec{l}=\epsilon_0\mu_0\frac{d}{dt}\phi_E+\mu_0\vec{J}\] Gauss’ law \[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{E}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\iiint_V\rho_{e,total}(\vec{r},t)dV\] Gauss’ law for the magnetic case \[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{B}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S}=0\] 其中\(\rho_{e,total}\)为总电荷密度（包括感应电荷） 将面元矢量表示为\(d\vec{S}=\hat{n}dA\)，则体积\(V\)内总电荷表示为 \[Q(t)=\iiint_V\rho_{e,total}(\vec{r},t)dV\] 则上式可写为 \[\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{E}\cdot\hat{n}dA=\frac{Q}{\epsilon_0}\]
微分形式
由矢量运算相关理论，可由上式写出Maxwell's equations的微分形式 \[\begin{aligned} \nabla\times\vec{E}&=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \\[8pt] \nabla\times\vec{B}&=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\vec{E}}{dt}+\mu_0\vec{J}_{total} \\[8pt] \nabla\cdot\vec{E}&=\frac{\rho_{e,total}}{\epsilon_0} \\[8pt] \nabla\cdot\vec{B}&=0 \end{aligned}\]
电流连续性方程
电流连续性方程的积分和微分形式为 \[\nabla\cdot\vec{J}_{total}=-\frac{\partial\rho_{e,total}}{\partial t} \\[8pt]
\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{J}_{tatal}\cdot d\vec{S}=-\frac{d}{dt}\iiint_V\rho_{e,total}dV\] 电流连续性方程可由Maxwell's equations推导得出：对Maxwell–Ampère law的微分形式两边取散度，由矢量运算性质及Gauss’ law即可得到此式
电流的连续性方程左边为流出体积的净电流，右边为体积内净电荷量减少的速率，这代表了电流的连续与电荷的守恒，在时变场中适用，将电场和磁场耦合在了一起（静态场中电流和电荷不具备上述关系，此时电场和磁场解耦）
由Maxwell's equations和电流连续性方程可便捷得到适用于电路的基尔霍夫方程
洛伦兹力定律
经典力学将视角放在了物体和力（动量）的关系上，而经典电磁学的视角则转移到了场（field）上面，洛伦兹力则为架起两者沟通的桥梁，它描述了电磁场和物质之间的相互作用
携带电荷\(q\)的粒子放在电磁场中，其速度为\(\vec{v}\)，则电磁场施加于例子上的力为 \[\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})\]
本构关系
电极化
物质的基本组成单元为分子，而分子由原子构成。在没有外界电磁场作用时，原子中电子轨道中心和质子中心重合，整个原子呈现电中性，即不携带电荷；而分子则可分为两类：极性分子与非极性分子，前者的等效正负电荷中心相互偏移，形成电偶极子，产生微弱电场，而后者的正负电荷中心重合，呈现电中性
但是，对原子或分子施加一个电磁场，由洛伦兹力定律，原子和非极性分子的正负电荷中心相互偏离，形成电偶极子，而极性分子的外加电磁场的作用下，取向随机的电偶极子合计形成的电场与外加电场相反，减弱总场的效应
为了量化电偶极子的效应，引入电矩的概念 \[\vec{p}=q\vec{l}\] 其中\(\vec{l}\)为负电荷中心指向正电荷中心的矢量
单位体积内电矩之和即为电矩密度，亦为极化强度或极化矢量 \[\vec{P}=\lim_{\Delta v\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta v}\sum_{i=1}^{n_p}\vec{p_i}\]
其中\(n_p\)为体积\(\Delta v\)内的电偶极子数量
当电矩密度不均匀时，将存在净电荷，此时体电荷密度不为零，其表示为 \[\rho_{e,b}=-\nabla\cdot\vec{P}\]
此为束缚电荷密度
若媒质中还存在自由电荷，则总电荷密度为 \[\rho_{e,total}=\rho_{e,f}+\rho_{e,b}=\rho_{e,f}-\nabla\cdot\vec{P}\]
\(\rho_{e,f}\)为自由电荷密度
将上式代入Gauss’ law \[\nabla\cdot(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P})=\rho_{e,f}\]
定义电通量密度 \[\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\]
则自由电荷的Gauss' law为 \[\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{e,f}\]
当外场随时间变化时，电极化产生的体电荷密度也将变化，这将导致电流的产生；由电流连续性方程可知，电极化引起的电流密度为 \[\vec{J}_P=\frac{\partial\vec{P}}{\partial t}\]
若极化强度与电场成比例关系，则 \[\vec{P}=\epsilon_0\chi_e\vec{E}\]
\(\chi_e\)为电极化率
由此可得电场的本构关系 \[\vec{D}=\epsilon_0(1+\chi_e)\vec{E}=\epsilon\vec{E}\Rightarrow \epsilon=\epsilon_0(1+\chi_e)\]
\(\epsilon\)为介电常数，相对介电常数为\(\epsilon_r=1+\chi_e\)
磁极化
在原子中，电子不间断绕原子核运动，这种运动形成微小的电流环，即为磁偶极子，用磁矩描述 \[\vec{m}=I\vec{J}\]
\(\vec{J}\)幅度为电流环面积，方向与电流方向构成右手螺旋
单位体积内的磁偶极子数量即为磁化强度或磁化矢量 \[\vec{M}=\lim_{\Delta v\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta v}\sum_{i=1}^{n_m}m_i\]
\(n_m\)为\(\Delta v\)内磁偶极子数量 磁矩密度不均匀时，将产生净电流，其体电流密度为 \[\vec{J}_m=\nabla\times\vec{M}\]
媒质中总电流为电极化电流，磁化电流和自由电流之和 \[\vec{J}_{total}=\vec{J}_P+\vec{J}_m+\vec{J}_f=\frac{\partial\vec{P}}{dt}+\nabla\times\vec{M}+\vec{J}_f\]
将上式代入Maxwell–Ampère law可得 \[\nabla\times(\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M})=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}+\vec{J}_f\]
定义磁场强度 \[\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}\]
则上式可写为 \[\nabla\times\vec{H}=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}+\vec{J}_f\]
由于\(\nabla\cdot\vec{J}_m=\nabla\cdot(\nabla\times\vec{M})=0\)，故磁化电流不会产生与之相关的电荷，这也表明磁场强度只涉及自由电流
若磁化强度与磁场强度成比例关系，则 \[\vec{M}=\chi_m\vec{H}\]
由此可得磁场的本构关系 \[\vec{B}=\mu_0(1+\chi_m)\vec{H}=\mu\vec{H}\Rightarrow \mu=\mu_0(1+\chi_m)\]
\(\mu\)为磁导率，相对磁导率为\(\mu_r=1+\chi_m\)
电传导
电传导发生在含有自由电荷的媒质中；当施加外场时，自由电荷的运动方向将趋向于和电场方向相同或相反，由此产生的电流为传导电流 \[\vec{J}_c=\sigma\vec{E}\]
\(\sigma\)为电导率，与能量损失有关（自由电荷在媒质内运动时，和原子晶格发生碰撞，产生热量）
本构关系
媒质的电磁特性可以由三个本构关系描述 \[\vec{D}=\epsilon\vec{E}\quad\vec{B}=\mu\vec{H}\quad\vec{J}_c=\sigma\vec{E}\]
根据本构关系即相关参数可对媒质分类
按是否为空间函数分类：
- 非均匀媒质
- 均匀媒质 \(\quad\nabla\epsilon\equiv\nabla\mu\equiv\nabla\sigma\equiv0\)
按是否依赖时间分类：
- 非静态媒质
- 静态媒质
按\(\vec{D}\)和\(\vec{B}\)的方向分类：
- 各向同性媒质 \(\quad\vec{D}\)的方向平行于\(\vec{E}\)的方向，且\(\vec{B}\)的方向平行于\(\vec{H}\)的方向
- 各向异性媒质
各向异性媒质的本构关系需表示为 \[\vec{D}=\bar{\epsilon}\cdot\vec{E}\quad\vec{B}=\bar{\mu}\cdot\vec{H}\]
式中\(\bar{\epsilon}\)，\(\bar{\mu}\)为张量（Tensor），分别为张量介电常数和张量磁导率，其三维形式为 \[\bar{\epsilon}=\begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} \quad \bar{\mu}=\begin{bmatrix} \mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\ \mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\ \mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz} \end{bmatrix}\]
若两张量对称，则对应媒质是互易的，否则为非互易的（互易定理将在后续讨论） 晶体是各向异性媒质的一个特例，其张量介电常数为对角张量，即 \[\bar{\epsilon}=\begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{zz} \end{bmatrix}\]
若三个对角元素均不相同，则对应的媒质为双轴媒质；若三个对角元素中有两个相同， 则对应的媒质为单轴媒质；若三个对角元素均相同，则对应各向同性媒质
按是否依赖场强分类：
- 非线性媒质
- 线性媒质
按是否依赖频率分类：
- 色散媒质
- 非色散媒质
色散媒质的本构关系以卷积的方式表示 \[\begin{aligned}
\vec{D}&=\epsilon_0\vec{E}+\epsilon_0\chi_e*\vec{E}=\epsilon_0\vec{E}+\epsilon_0\int_{-\infty}^t\chi_e(t-\tau)\vec{E}(\tau)d\tau \\
\vec{B}&=\mu_0\vec{H}+\mu_0\chi_m*\vec{H}=\mu_0\vec{H}+\mu_0\int_{-\infty}^t\chi_m(t-\tau)\vec{H}(\tau)d\tau
\end{aligned}\]
按电导率大小分类：
- 理想介质/绝缘体 \(\quad\sigma=0\)
- 理想导电体 \(\quad\sigma\rightarrow\infty\)
按磁导率大小分类：
- 抗磁质（非磁性媒质） 磁化率为非常小的负数
- 顺磁质（非磁性媒质） 磁化率为非常小的正数
- 铁磁质 相对磁导率很大，方向和外加场一致（电导率通常很大，内部无法维持较强电磁场）
- 铁氧体 微波频段相对磁导率很大，电导率很小
自由电荷和自由电流表示的麦克斯韦方程组
积分形式
引入本构关系后的Maxwell's equations为 \[\begin{aligned} \oint_c\vec{E}\cdot d\vec{l}&=-\frac{d}{dt}\iint_S\vec{B}\cdot d\vec{S} \\[8pt] \oint_c\vec{H}\cdot d\vec{l}&=\frac{d}{dt}\iint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}+\iint_S\vec{J}_f\cdot d\vec{S} \\[8pt] \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{D}\cdot d\vec{S}&=\iiint_V\rho_{e,f}dV \\[8pt] \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{B}\cdot d\vec{S}&=0 \end{aligned} \]
虽然目前仍未发现磁流和磁荷的存在，但将磁流和磁荷的概念引入Maxwell's equations将带来非常好的对称性： \[\begin{aligned} \oint_c\vec{E}\cdot d\vec{l}&=-\frac{d}{dt}\iint_S\vec{B}\cdot d\vec{S} -\iint_S\vec{M}_f\cdot d\vec{S}\\[8pt] \oint_c\vec{H}\cdot d\vec{l}&=\frac{d}{dt}\iint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}+\iint_S\vec{J}_f\cdot d\vec{S}\\[8pt] \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{D}\cdot d\vec{S}&=\iiint_V\rho_{e,f}dV \\[8pt] \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{B}\cdot d\vec{S}&=\iiint_V\rho_{m,f}dV \\[8pt] \end{aligned} \]
其中\(\vec{M}_f\)为自由磁流密度，为\(\rho_{m,f}\)自由磁荷密度
微分形式
微分形式的Maxwell's equations用于描述连续介质中的场 \[\begin{aligned} \nabla\times\vec{E}&=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}-\vec{M}_f\\[8pt] \nabla\times\vec{H}&=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}+\vec{J}_f\\[8pt] \nabla\cdot\vec{D}&=\rho_{e,f} \\[8pt] \nabla\cdot\vec{B}&=\rho_{m,f} \end{aligned}\]
Maxwell's equations为什么如此重要且优美？这离不开其对称性和线性性的特征
对称性的成立直接导致对偶原理的成立（将在后续文章中描述），这意味着在合适的条件下电场与磁场有着鲜明的对应关系，求其一则得其二，为分析和计算提供了便利.同时，对称性也揭示了电场和磁场之间高度的相似性，两者相互激发，互为因果，“电生磁，磁生电”即为如此.这其中是否蕴含更奇妙的原理？还待笔者继续学习
所谓线性性，由于微分算符与积分算符都是线性算符，因此Maxwell's equations描述的是一个线性系统，亦即经典电磁场是一个线性系统，这不但意味着叠加原理可以直接适用于求解域，也意味着利用现有PDE（Partial Differential Equation，偏微分方程）技术可以得到很多场景下的解析解（如偶极子辐射场，散射问题，传输线，波导，谐振腔，天线等），并且在电磁场求解中可以用处理线性系统的工具求解，如傅里叶变换，矩阵理论等
为什么线性性如此重要？以CFD（Computational Fluid Dynamics，计算流体力学）为例，这项技术旨在用数值方法在计算机中求解流体力学问题，而流体力学的一个重要方程为N-S方程（Navier-Stokes equations），这是一个非线性的偏微分方程，非线性项的出现为问题的求解制造了很大的困难，直接导致了湍流的出现.相比于流体力学，经典电磁场问题的求解因为Maxwell's equations的线性性简单了很多
电流与磁流的连续性方程
引入磁流和磁荷的概念后，连续性方程的积分形式为 \[\begin{aligned} \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{J}_{f}\cdot d\vec{S}&=-\frac{d}{dt}\iiint_V\rho_{e,f} \\[8pt] \iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset_S\vec{M}_{f}\cdot d\vec{S}&=-\frac{d}{dt}\iiint_V\rho_{m,f} \end{aligned}\]
微分形式为 \[\begin{aligned} \nabla\cdot\vec{J}_{f}&=-\frac{\partial\rho_{e,f}}{\partial t} \\[8pt] \nabla\cdot\vec{M}_{f}&=-\frac{\partial\rho_{m,f}}{\partial t} \end{aligned} \]
边界条件
微分形式的麦克斯韦方程组适用于连续媒质，在不连续媒质分界面上的处理则需用到边界条件，如下所示 \[\begin{aligned} \hat{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)&=\vec{J}_s \\[8pt] \hat{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)&=-\vec{M}_s\quad(=0) \\[8pt] \hat{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)&=\rho_{e,s} \\[8pt] \hat{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)&=\rho_{m,s}\quad(=0) \end{aligned}\]
对理想电导体（PEC），其中自由电荷产生的电场完全抵消外加电场，此时边界条件为 \[\begin{aligned} \hat{n}\times\vec{H}&=\vec{J}_s \\[8pt] \hat{n}\times\vec{E}&=0 \\[8pt] \hat{n}\cdot\vec{D}&=\rho_{e,s} \\[8pt] \hat{n}\cdot\vec{B}&=0 \end{aligned}\]
结束
以上便是麦克斯韦方程组相关的内容，加上1.1的矢量分析部分，电磁场的基本理论部分便完备了，下一篇文章将介绍自由空间中的电磁辐射问题
以及，本科阶段的最后一门期末开始在昨天结束了，我觉得这是一件值得记下的事情
最后，再次祝各位新年快乐
pixiv ID： 82306806
其实我是ysss党